继写完第一篇文章《全国大学生数学竞赛（非数学类）经验贴》和第二篇文章《电路考研择校篇（简略篇）》之后，有很多同学想了解电路考研的一些情况。我从大一开始就研究考研电路，到目前为止已经接近四年了，我也在二篇文章中说过，我已经见过数以万计的电路题，亿博电竞官网因此我决定在此写下我对电路的整体理解和一些典型考点分析。

　　电路是很多高校电气、电子和自动化等专业的一门基础课程，其为这些专业的专业课学习作为铺垫，同时它也是这些专业考研的专业课，可以说是极其重要。

　　市面上存在大量的电路书籍教材，如西安交大邱关源老先生编写的《电路》、华中科技大学汪建教授编写的《电路原理》以及清华大学江缉光教授编写的《电路原理》等等。虽然书籍种类较多，但这些书所包含的电路知识点基本是一致的，这些书我都看过，总体来说，我会将电路的知识点分为如下板块和章节：

　　从表1中所列出那样，我们分析电路首先要从电路的元件开始，并且我们需要引入相应的物理量来描述电路中物理元件的元件特性，这样我们就对单元的元件建模了。那么，电路的需要分析的元件有哪些呢？一般来说，我在这里会首先给出电路中最基本的元件，包括电压源、电流源（两个源都是激励，也就是为电路提供能量的部分，你可以类比我们常用的电池，只不过那个不是理想电源）和电阻，其电路元件模型如下图1所示：

　　有了物理元件模型就够了吗？答案肯定是否定的，我们研究物理问题都是先建立物理模型，然后再建立数学模型的。那么怎么对电源（包括电压源和电流源）进行建模呢？在此之前我们需要引入描述电路的四个基本物理量，包括电压u，电流i，电荷q和磁链\Psi，其中电压和电流是我们研究电路最基本最常见最有用的两个基本物理量，我想学完电路、理解电路、熟悉电路的同学都会同意我的观点的。光引入描述电路的物理量是不够的，我们还必须把电路中的元件与电路中的物理量给打个包懂吧，也就是电路元件的物理特性。如前面所述，电压和电流是电路中两个极其重要的物理量，那我们将电路元件与电路物理量打个包也就是我们需要研究电路元件的电压和电流之间的数学关系。

　　首先来看电阻元件，我们在这里只讨论线性电阻元件。所谓的线性电阻指的就是电阻两端的电压与电流呈现出线性关系，从初中我们就学过欧姆定律，其方程为U=RI。这就是线性电阻的物理特性，也就是电阻两端的电压与电流成正比关系，其元件的伏安特性（电流与电压的关系）如图2所示，那么我们就可以将电阻与方程U=IR打包，从而完成了对电阻元件的数学建模。然后我们来看电路中提供电能的元件，包括电压源和电流源。值得注意的是，我们在此研究的电源是理想电源，就好比一节干电池两端的电压是1.5V不变。理想电压源的物理特性就是u=C（常数）不变，也就是说不管你这个电压源两端流过多大的电流，几安培也好，几百安培也好，甚至几万安培也罢，我两端的电压永远都是C，是不是个无奈！！！。就好比电压对电流免疫，你电流永远也改变不了我电压源两端的电压，其元件的伏安特性如图3所示。同样，电流源也是个无奈，竟然你电压源对电流免疫，那风水轮流转，我电流源就对你电压免疫。用数学语言的描述就是i=C（常数），也就是不管电流源两端的电压是多大，我电流源两端的电流始终维持C不变，其元件的伏安特性如图4所示。至此，我们就对电路中的三个最基本的元件进行了打包（建模）。

　　图2：电阻元件的电路模型及伏安特性曲线：理想电压源的电路模型及伏安特性曲线：理想电流源的电路模型及其伏安特性曲线

　　答案显然是不够的，我们在电路中不会只考虑单一的电源或电阻，而会对电源与电阻组成的电路进行分析。可以这么理解，我们在前面已经将电池与电灯泡进行建模打包了，现在我们用电线（传输电能的导线）将电池与电灯泡连在一起，那么灯泡就会发光了。这下问题来了，电灯泡会什么会发光呢？于是我们开始将目光从元件的元件约束转到电路的拓扑约束上面来了。

　　电路中的拓扑约束是对电路的拓扑结构进行建模，其最重要最基本的建模方法就是基尔霍夫定律。

　　在说明基尔霍夫定律之前我们首先要对“拓扑结构”这个新名词进行描述，如同电源电阻一样，我们首先要引入“物理量”来描述拓扑，这里包括支路，节点以及回路。如图6所示的电路，给出了一个电路拓扑中的支路、节点以及回路。在下面也给出了支路、节点和回路的定义：

　　支路：由一个或者一个以上的元件串联的分支称为一个支路，例如图5所示的电路中就包含了三条支路。节点：三个或三个以上的支路的联接点称为节点，例如图5所示的电路中就包含了A、B两个节点。

　　\[ \sum{u\left( t \right) =0}\\ \]其图示和典型列子如图7所示。其作为一个回路，应满足KVL，此回路中包含了四条支路，其各支路的支路电压为：

　　在讲这一小节之前，我要提出电路中一个非常重要、非常重要、非常重要的概念——等效。何为“等效”？举个例子，一个水池同时注水和放水以维持水面不变，从外面的人看来水池没有变化，

　　他可以认为没有水流注入和流出水池，但是水池实际上是有水流同时注入和流出的。这个人认为水池没有水流注入和流出就是一种“等效”，这其实也说明了等效实际上是一种“对外等效”，其内部（水池有水流）不一定与外部（外面的人认为没有水流）是一致的。电路中的等效可以说是无处不在，从电阻的串并联到电容电感的相量模型、复频域模型再到二端口的等效电路，

　　可以说“等效”就是电路的一面镜子，我们可以从镜子里面揭开未知电路神秘的面纱。首先来看电阻的串并联等效，n个电阻串联如图8所示，我们知道串联电路中的，流过各电阻的电流相同（其实就是KCL），记为i。根据我们的KVL知道这条支路两端的电压为各电阻电压之和，即：u_1+u_2+\cdots +u_k+\cdots +u_n=u\\

　　上面的KCL和KVL其实就是描述这一电路拓扑的拓扑约束，我们对每个电阻还有其打包特性（元件约束），也就是电阻的欧姆定律，即：u_k=R_ki_k\left( k=1,2,\cdots ,n \right)

　　。这里我们开始等效，我们现在不看这条支路的内部结构，我们从外面看这条支路的电压和电流，发现电压与电流之比为一个常数R，因此我们就可以认为这条支路就是一个电阻R，这就是等效。这里我们还得到串联电阻等效后还是一个电阻，其电阻为各电阻之和。对图9所示的并联电路我们也可以这样等效。>

　　图8：串联电阻电路>

　　图9：并联电阻电路

　　有了电阻的串并联等效电阻之后，对于由纯电阻构成的二端电路，我们都可得到其对外等效电阻了，我们将这个等效电阻称为这个二端网络的输入电阻，其图示过程如图10所示：

　　其实就是对电路中的某一部分分析其元件约束和拓扑约束，得到一个总的模型，这个总的模型就是一个新的等效电路元件。

　　前面两小节我们已经对电路的元件进行了建模，对电路的拓扑进行了建模，对电路元件串并联进行了等效，这都不是我们最终的目的。我们现在开始从宏观层面上来研究电路，也就是给定一个电路的拓扑结构以及电路中各个元件的参数，来计算电路中各个支路的电压和电流。这里我们有三宝来计算电路的电压和电流，分别是

　　支路电流法、回路电流法和节点电压法。限于本文篇幅，选取支路法作为典型方法进行分析。

　　首先咱们从宏观来考虑一下，我们假设一个电路拓扑中包含n个节点和b条支路，那么我们是不是相当于有b个未知电压和b个未知电流待求？也就是我们一共有2b个变量，根据数学线性方程组理论，我们要求出这2b个未知量，至少需要2b个线性代数方程式。我们列写这2b个方程式的原则仍然是元件约束+拓扑约束。支路电流法作为第一宝，是最开始使用的，其计算量较大，在考试中基本不会用，但其思想是后面两宝的源泉

　　。咱们来分析电路中的支路电压与电流的关系，两条典型支路如图11所示：>

　　图11：电阻电路中的典型支路

　　对图（a），我们根据元件约束知道电阻上面的电压为u_R=Ri，然后我们根据KVL可以得到这条之路的拓扑约束为：

　　和支路电流i均为未知数。上述方程就是电路中各支路的支路特性，由于电路中一共有b条支路，因此有b个这样的方程。现在我们已经列写了b个方程，要想求出所有的未知量，我们还需要b个方程，怎么办？我们是不是还没有用到电路的拓扑约束，因此接下来我们要列写电路的拓扑约束方程了亿博电竞官网。我们知道该电路一共有n个节点，对每一个节点都可以列写一个KCL方程，因此一共有n个KCL方程。但这n个方程之间并不是互相独立的，例如对于图12所示的4节点6支路的电路，对节点123列写KCL方程如下：\left. \begin{array}{r} \text{节点}1\text{：}-i_1+i_4+i_5=0\\ \text{节点}2\text{：}-i_2-i_5+i_6=0\\ \text{节点}3\text{：}-i_3-i_4-i_6=0\\ \end{array} \right\} \\将上面这三个方程相加，就可以得到节点0的KCL方程-i_1-i_2-i_3=0。因此，对于包含n个节点的电路，只有n-1个独立的KCL方程

　　。为了得到b个方程，我们还需要列写l=b-n+1个方程。我们还有拓扑约束中的另外一个约束，也就是KVL。

　　个独立回路，然后对每一个回路列写KVL方程。我们选取独立回路的原则是：每选取一个新的回路时，至少包括一条新的支路。为什么要这样选呢？这样选一定能确保所列写的方程独立吗？我们来进一步分析。

　　我们每选取一个新的回路，至少包含一条新的支路，那么就会包含一个新的支路电压，这样写出的KVL一定独立于已经写出的回路方程，因此这的的确确能够保证所列写的KVL方程独立

　　。对于一个电路拓扑，我们可以有多种回路选择方法，例如对于图12所示的电路，我们给出几种独立回路选择方案如图13所示。我们从中可以发现，虽然一个电路中有多种独立回路选择方案，但独立回路的个数是一样的，例如图13中的四种方案中均为3个独立回路。我们一般会选择图13（a）中的独立回路，因为其比较直观。显然我们可以看到，

　　对于含b条支路、n个节点的电路拓扑，独立回路的个数刚好为b-n+1个。这样就可以列写b-n+1个独立的KVL方程。>

　　图13：图12电路中的几种独立回路选择方案至此，亿博电竞官网我们列写了b个支路特性方程，n-1个独立的KCL方程和b-n+1个独立的KVL方程，一共2b个独立的方程